Cho hình bình hành ABCD, Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD, đường chéo AC cắt DM tại E và cắt BN tại F.

Câu hỏi :

Cho hình bình hành ABCD, Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD, đường chéo AC cắt DM tại E và cắt BN tại F. Chứng minh

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\mathrm{AB}//\mathrm{CD}$ và $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ (tính chất hình bình hành)

$\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{AB}=\frac{1}{2}\mathrm{CD}$ và $\mathrm{M}\in \mathrm{AB},\mathrm{N}\in \mathrm{CD}\Rightarrow \mathrm{MB}=\mathrm{DN},\mathrm{MB}//\mathrm{DN}$

Suy ra MBND là hình bình hành

b) Vì MBND là hình bình hành $\Rightarrow \mathrm{DM}//\mathrm{BN}$ mà $\mathrm{E}\in \mathrm{DM},\mathrm{F}\in \mathrm{BN}$

$\mathrm{EM}//\mathrm{FB}$ và M là trung điểm AB => E là trung điểm AF => ME là đường trung bình tam giác ABF

c) Ta có: $\widehat{\mathrm{ADC}}=\widehat{\mathrm{ABC}} (\mathrm{t}/\mathrm{c}\mathrm{...}\mathrm{hbh}) \left(1\right)$ và $\widehat{{\mathrm{D}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}$ (t.c hình bình hành) (2)

Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta có: $\widehat{{\mathrm{D}}_2}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$

Xét $\mathrm{\Delta AED}$ và $\mathrm{\Delta CFB}$ có: $\widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{C}}_1} \left(\mathrm{slt}\right); \mathrm{AD}=\mathrm{BC}; \widehat{{\mathrm{D}}_2}=\widehat{{\mathrm{B}}_2} \left(\mathrm{cmt}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta AED}=\mathrm{\Delta CFB} \left(\mathrm{gcg}\right)\Rightarrow \mathrm{ED}=\mathrm{FB}$

d) Chứng minh NF là đường trung bình $\mathrm{\Delta DEC}$ ta có: $\mathrm{DE}=\mathrm{FB} \left(\mathrm{cmt}\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{FB}\Rightarrow \mathrm{NF}=\mathrm{EM}\left(3\right) \\ \mathrm{DM}//\mathrm{NB},\mathrm{E}\in \mathrm{DM},\mathrm{F}\in \mathrm{NB}\Rightarrow \mathrm{EM}//\mathrm{NF}\left(4\right) \end{gathered}$$

Từ (3), (4) => EMFN là hình bình hành $\Rightarrow \mathrm{NE}//\mathrm{MF}$