Tìm số cạnh của một đa giác, biết rằng các đường chéo của nó có độ dài bằng nhau.

Nhận thấy: Hình vuông và hình ngũ giác đều thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Ta chứng minh đa giác có số cạnh lớn hơn 5 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử tồn tại đa giác AA₁A₂ ... A_n với n ≥ 6 có các đường chéo có độ dài bằng nhau.

⇒ A₁A₄ = A₂A₅ vì chúng là các đường chéo.

Xét tứ giác A₁A₂A₄A₅, có các đoạn thẳng A₁A₄,A₂A₅ là các đường chéo; còn A₁A₅,A₂A₄ là các cạnh của tứ giác nên tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Hay A₁A₅ + A₂A₄ < A₁A₄ + A₂A₅ mẫu thuẫn với giải thiết quy nạp vì A₁A₅,A₂A₄ cũng là hai đường chéo của đa giác.

⇒ Giả thiết đưa ra là sai.

Vậy đa giác có số cạnh lớn hơn 5 thì không thỏa mãn yêu cầu bài.