Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC. a) Gọi D là điểm đối cứng của A qua N. Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật. b) Lấy I là tr...

a) Ta có: NB = NC (gt); ND = NA (gt)

⇒ Tứ giác ABDC là hình bình hành

có ∠A = 90^o (gt) ⇒ ABDC là hình chữ nhật.

b) Ta có: AI = IC (gt); NI = IE (gt)

⇒ AECN là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

mặt khác ΔABC vuông có AN là trung tuyến nên AN = NC = BC/2.

Vậy tứ giác AECN là hình thoi.

c) BN và DM là 2 đường trung tuyến của tam giác ABD; BN và MD giao nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABD.

Tương tự G’ là trọng tâm của hai tam giác ACD

⇒ BG = BN/3 và CG’ = CN/3 mà BN = CN (gt) ⇒ BG = CG’

d) Ta có: S_ABC = (1/2).AB.AC = (1/2).6.6 = 24 (cm²)

Lại có: BG = GG’ = CG’ (tính chất trọng tâm)

⇒ S_DGB = S_DGG' = S_DG'C = 1/3 S_BCD

(chung đường cao kẻ từ D và đáy bằng nhau)

Mà S_BCD = S_CBA (vì ΔBCD = ΔCBA (c.c.c))

⇒S_DGG' = 24/3 = 8(cm²)