Cho n là số nguyên không chia hết cho 3. Chứng minh rằngP = 32n + 3n + 1 chia hết cho 13.

* Hướng dẫn giải

Theo giả thiết vì n không chia hết cho 3 nên có dạng n = 3k + 1 và n = 3k + 2.

+ Nếu n = 3k + 1 thì 

        P = 3^2(3k+1) + 3^(3k+1) + 1 = (3^3k+1)² + 3^3k+1 + 1 = 9.27^2k + 3.27^k +1

Vì 27 chia cho 13 dư 1 nên 27^k và 27^2k chia cho 13 dư 1 hay 9.27^2k và 3.27^k chia cho 13 thì dư 9 và 3. Khi đó P chia cho 13 sẽ có số dư là 13.

 Vậy P = 3^2(3k+1) + 3^(3k+1) + 1 chia hết cho 13

+ Nếu n = 3k + 2 chứng minh tương tự P = 3^2(3k+1) + 3^(3k+1) + 1 chia hết cho 13