a) ĐKXĐ : x, y khác 0
=> 2y + 2x + 1 = xy
<=> xy - 2x - 2y - 1 = 0
<=> x(y - 2) - (2y - 4) - 5 = 0
<=> (y - 2)(x - 2) = 5
Vì x, y \( \in \) Z => x - 2, y - 2 \( \in \) Z. Do đó ta có bảng giá trị :
x - 2 |
1 |
5 |
-1 |
-5 |
y - 2 |
5 |
1 |
-5 |
-1 |
x |
3 |
7 |
1 |
-3 |
y |
7 |
3 |
-3 |
1 |
Thử lại |
chọn |
chọn |
chọn |
chọn |
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên (3 ; 7) , (7 ; 3) , (1 ; -3) , (-3 ; 1)
b) \(P = 2x + y + \frac{{30}}{x} + \frac{5}{y}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{4}{5}x + \frac{6}{5}x + \frac{4}{5}y + \frac{y}{5} + \frac{{30}}{x} + \frac{5}{y}\\
= \frac{4}{5}(x + y) + (\frac{6}{5}x + \frac{{30}}{x}) + (\frac{y}{5} + \frac{5}{y})
\end{array}\)
Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \(\frac{6}{5}x\) và \(\frac{{30}}{x}\) , \(\frac{y}{5}\) và \(\frac{5}{y}\)
ta có : \(\frac{6}{5}x + \frac{{30}}{x} \ge 2\sqrt {\frac{6}{5}x.\frac{{30}}{x}} = 12\) (1)
\(\frac{y}{5} + \frac{5}{y} \ge 2\sqrt {\frac{y}{5}.\frac{5}{y}} = 2\) (2)
Từ (1), (2) và từ giả thiết x + y 10 => P 8 + 12 + 2 = 22
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x,y > 0\\
\frac{6}{5}x = \frac{{30}}{x}\\
\frac{y}{5} = \frac{5}{y}\\
x + y = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = 5
\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 22 <=> x = y = 5
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Copyright © 2021 HOCTAP247