Cho \(a,\;b,\;c \ge 0,\;a + b + c \le 3\).

* Hướng dẫn giải

Đặt  :     1 + a  = x

                1+ b  = y

                1 + c = z

Ta có :  x + y + z = 3 + a + b + c  mà \(a + b + c \le 3\)

\( \Rightarrow x + y + z \le 6 \Rightarrow \frac{1}{{x + y + z}} \ge \frac{1}{6}\)

Ta sẽ chứng minh bài toán sau  :

\(\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 9\) (1) .

Thật vậy : Xét vế trái của BĐT (1)

\(\begin{array}{l}
\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{{x + y + z}}{x} + \frac{{x + y + z}}{y} + \frac{{x + y + z}}{z}\\
 = 1 + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + 1 + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 1\\
 = 3 + \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) + \left( {\frac{y}{z} + \frac{z}{y}} \right) + \left( {\frac{x}{z} + \frac{z}{x}} \right)
\end{array}\)                                                                         

Với x ; y; z là những số dương thì : 

\(\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) \ge 2;\left( {\frac{z}{x} + \frac{x}{z}} \right) \ge 2;\left( {\frac{y}{z} + \frac{z}{y}} \right) \ge 2\)

 Nên   \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 9\)

 Dấu “ = ” Xảy ra khi và chỉ khi : x = y =z .

\( \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}} \ge \frac{3}{2}\)

Vậy \(\min B = \frac{3}{2}\) khi a = b = c