Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Vẽ BP ⊥ MN; CQ ⊥ MN (P, Q Є MN). Biết SABC = 50 cm^2, tính diện tích S_BPQC.

* Hướng dẫn giải

Kẻ AH ⊥ BC tại H và AH cắt MN tại K.

+ Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC suy ra AH ⊥ MN tại K. Xét tứ giác CBPQ có PQ // BC (do MN // BC) và PB // CQ (do cùng vuông góc với PQ) nên CBPQ là hình bình hành. Lại có \(\widehat {PBC} = {90^0}\) nên tứ giác CBPQ là hình chữ nhật. Suy ra S_CBPQ = BP. BC.

+ Xét ΔBPM và ΔAKM có:

Suy ra ΔBPM = ΔAKM (ch – gn) ⇒ BP = AK (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ΔABK có MK // BH (do MN//BC) và M là trung điểm của AB nên K là trung điểm của AH (định lý về đường trung bình của tam giác). Nên AK = \(\frac{1}{2}\)AH (2)

Từ (1) và (2) ta có PB = \(\frac{1}{2}\)AH.

+ S_ABC =  \(\frac{1}{2}\)AH.BC mà PB = \(\frac{1}{2}\)AH (cmt) nên S_ABC = PB. BC

Lại có S_CBPQ = BP. BC (cmt) nên ta có S_ABC = S_CBPQ = 50 cm².