Một lò xo có độ cứng 200 N/m được treo thẳng đứng : đầu trên gắn

* Hướng dẫn giải

Hệ vật ta xét gồm "Quả cầu - Lò xo - Trái Đất" là hệ cô lập.

Cơ năng W của hệ vật này có giá trị bằng tổng của động năng ($W_{đ}$), thế năng trọng trường ($W_t$) và thế năng đàn hồi ($W_{đh}$) :

W = $W_{đ}$ + $W_t$ + $W_{đh}$

Chọn gốc toạ độ là vị trí cân bằng của hệ vật (quả cầu đứng yên) và chiều dương là chiều lò xo bị kéo dãn. Do đó ta có :

- Tại vị trí ban đầu : hệ vật có $W_{đ}$ = 0 ($v_0$ = 0) lò xo bị dãn một đoạn Δ so với vị trí cân bằng, nên $W_t$ $\ne$ 0, $W_{đh}$ $\ne$ 0 và cơ năng của hệ vật bằng :

$W_0$ = 0 + mg$∆$l + k${\left(∆l+∆l_0\right)}^2$/2

- Khi về tới vị trí cân bằng : quả cầu có $W_{đ}$ $\ne$ 0 (v ≠ 0) và $W_t$ = 0 (trùng với gốc tính thế năng đàn hồi), đồng thời lò xo bị dãn một đoạn Δ0, nên cơ năng của hệ vật bằng :

W = m$v^2$/2 + 0 + k${\left(∆l_0\right)}^2$/2

Chú ý : Hệ vật này được treo thẳng đứng nên tại vị trí cân bằng của nó, lò xo đã bị dãn một đoạn ${∆}_0$ thoả mãn điều kiện :

mg + k ${∆}_0$ = 0 ⇒ mg = -k ${∆}_0$

với P = mg là trọng lực và $F_{đh}$ = k$∆$ là lực đàn hồi tác dụng lên hệ vật

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ vật, ta có :

W = $W_0$ ⇒ mg$∆$l + k${\left(∆l+∆l_0\right)}^2$/2 = m$v^2$/2 + k${\left(∆l_0\right)}^2$/2

⇒ mg$∆$l + k${\left(∆l\right)}^2$/2 + k$∆$l$∆$$l_0$/2 + k${\left(∆l_0\right)}^2$/2 = m$v^2$/2 + k${\left(∆l_0\right)}^2$/2

Vì mg = -k${∆}_0$, nên sau khi rút gọn hai vế của phương trình, ta được

k${\left(∆l\right)}^2$/2 = m$v^2$/2

Từ đó suy ra vận tốc của quả cầu khi nó về tới vị trí cân bằng: