Mạch xoay chiều RLC

* Hướng dẫn giải

+ Khi tốc độ quay của roto tăng k lần thì E và ZL tăng gấp k, còn ZC giảm đi k lần

+ Khi tốc độ n thì: \(\cos \varphi  = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{4} = \frac{{{R^2}}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}} \Rightarrow {\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)^2} = \frac{{{R^2}}}{3}\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}{Y_i}} \)  (1)

+ Khi 2n thì:  

\(\begin{array}{l}
I = \frac{E}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }} \Rightarrow \frac{{{P_2}}}{{{P_1}}} = {\left( {\frac{{{I_2}}}{{{I_1}}}} \right)^2} \Leftrightarrow 5 = 4\frac{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{{{R^2} + {{\left( {2{Z_L} - \frac{{{Z_C}}}{2}} \right)}^2}}}\\
 \Leftrightarrow {R^2} + 5{\left( {2{Z_L} - \frac{{{Z_C}}}{2}} \right)^2} = \frac{{4{R^2}}}{3} \Rightarrow {\left( {2{Z_L} - \frac{{{Z_C}}}{2}} \right)^2} = \frac{{{R^2}}}{{15}}
\end{array}\)                         (2)

+ Từ (1) và (2), ta có:  

\(\begin{array}{l}
3Z_L^2 + 3Z_C^2 - 6{Z_L}{Z_C} = 60Z_L^2 + \frac{{15Z_C^2}}{4} - 30{Z_L}{Z_C}\\
 \Leftrightarrow 57Z_L^2 + 0,75Z_C^2 - 24{Z_L}{Z_C} = 0\\
{Z_C} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{Z_L} = \frac{{8 + 3\sqrt 5 }}{{38}} \approx 0,39\\
{Z_L} = \frac{{8 - 3\sqrt 5 }}{{38}} \approx 0,034
\end{array} \right.
\end{array}\)

+ Vì lúc 2n mạch có tính cảm kháng nên  \(2{Z_L} > \frac{{{Z_C}}}{2} \Rightarrow {Z_L} > \frac{{{Z_C}}}{4}\)

=>Chọn \({Z_L} \approx 0,39 \Rightarrow R \approx 1,06\) 

+ Khi \(n\sqrt 2 \) thì:

\(\frac{{{P_3}}}{{{P_1}}} = {\left( {\frac{{{I_3}}}{{{I_1}}}} \right)^2} = 2\frac{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{{{R^2} + {{\left( {\sqrt 2 {Z_L} - \frac{{{Z_C}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}\) 

\( \Rightarrow \frac{{{P_3}}}{{{P_1}}} = 2\frac{{{{1,06}^2} + {{\left( {0,39 - 1} \right)}^2}}}{{{{1,06}^2} + {{\left( {\sqrt 2 .0,39 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} \approx 2,61 \Rightarrow {P_3} = 2,61P\)