Với a,b,c bất kỳ. Hãy so sánh \(3({a^2} + {b^2} + {c^2})\) và \((a+b+c)^2\)

* Hướng dẫn giải

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l} 3({a^2} + {b^2} + {c^2}) - {(a + b + c)^2}\\ \begin{array}{*{20}{l}} { = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} - 2ab - 2bc - 2ac}\\ { = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac}\\ { = {{(a - b)}^2} + {{(b - c)}^2} + {{(c - a)}^2} \ge 0} \end{array} \end{array}\)

(vì \( {(a - b)^2} \ge 0;{\mkern 1mu} {(b - c)^2} \ge 0;{\mkern 1mu} {(c - a)^2} \ge 0\) với mọi a,b,c)

Nên \(3({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge {(a + b + c)^2}\)