Rút gọn phân thức A = (b-c)^3 +(c-a)^3 +(a-b)^3 / a^2

* Hướng dẫn giải

Phân tích mẫu thức thành nhân tử:

$$\begin{gathered} a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c- a\right)+c^2\left(a-b\right)=a^2\left(b-c\right)+b^{2}c-a{b}^2+a{c}^2-b{c}^2 \\ =a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)=\left(b-c\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right) \\ =\left(b-c\right)\left[a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right]=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right) \end{gathered}$$

Do đó

$A=\frac{{\left(b-c\right)}^3+{\left(c-a\right)}^3+{\left(a-b\right)}^3}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right) }$

Ta có nhận xét: Nếu $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3xyz$

Đặt $b-c=x, c-a=y, a-b=z$ thì $x+y+z=0$. Theo nhận xét trên: $A=\frac{x^3+y^3+z^3}{-xyz }=\frac{3xyz}{-xyz}=-3$