Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d. Dựng

* Hướng dẫn giải

Hướng suy nghĩ. Bài toán trở nên đơn giản nếu đề bài cho A và B nằm khác phía đối với d. Khi đó C là giao điểm của d với đoạn thẳng AB (h.l0a). Trong trường hợp A B nằm cùng phía đối với d, ta có thể tạo ra điểm B’ nằm khác phía với A đối với d mà độ dài CB’ luôn luôn bằng CB khi C thay đổi vị trí trên đường thẳng d. Điểm B’ chính là điểm đối xứng với B qua d.

Giải:

Phân tích. Vẽ B’ đối xứng với B qua d. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Ta có MB’=MB. Do đó

$AM+MB=AM+MB\text{'}\ge AB\text{'}$(hằng số).

Vậy giá trị nhỏ nhất của AM+MB bằng AB’ có M thuộc đoạn thẳng AB'.

Cách dựng. Dựng B’ đối xứng với B qua d. Nối A với B’ cắt d ở C.

Chứng minh. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Ta có $AM+MB=AM+MB\text{'}\ge AB\text{'},AC+CB=AC+CB\text{'}=AB\text{'}.$

Vậy $AC+CB\le AM+MB.$

Biện luận. Bài toán có một nghiệm hình.