Cho đường tròn tâm O cố định, bán kính 4 cm, điểm A cố định trên

* Hướng dẫn giải

Phần thuận. Gọi I là trung điểm của AO thì I là điểm cố định. IM là đường trung bình của tam giác AOB nên $IM=\frac{OB}{2}=2cm.$ Điểm M luôn các điểm I cố định 2 cm nên M thuộc đường tròn tâm I bán kính 2 cm.

Phần đảo. Lấy điểm M bất kì thuộc đường tròn $\left(I;2cm\right),$ M khác A.

Ta sẽ chứng minh rằng M là trung điểm của một đoạn thẳng nào đó có một đầu là A và một đầu thuộc đường tròn (O)

Thật vậy, gọi B là giao điểm của AM và (O), tam giác IAM cân nên $\widehat{IAM}=\widehat{IMA}, \Delta OAB$ cân nên $\widehat{OAB}=\widehat{B},$ suy ra $\widehat{IMA}=\widehat{B},$ do đó $IM//OB.$ Tam giác OAB có $OI=IA, IM//OB$ nên AM=MB.

Kết luận. Khi điểm B chuyển động trên (O), tập hợp các trung điểm M của AB là đường tròn (I;2cm) trừ điểm A.