Giải bài 15 trang 119 - Sách giáo khoa Toán 8 tập 1

Đề bài

Đố. Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm.

a) Hãy vẽ một hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình như vậy?

b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình vuông như vậy? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ. Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất?

Hướng dẫn giải

a) Hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng : 5.3 = 15 (cm\(^2\))

Có chu vi bằng : 2.(5+3) = 16 (cm)

 Chẳng hạn hình chữ nhật có kích thước (2cm . 7cm) thì diện tích bằng 14cm\(^2\) (nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật ABCD) và chu vi bằng 2(2+7) = 18 (cm) (lớn hơn diện tích ABCD).

 Ta có thể vẽ được vô số hình chữ nhật có diện tích bé hơn nhưng chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD cho trước.

b) Hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật thì cạnh hình vuông bằng : 16 : 4 = 4 (cm)

 Diện tích hình vuông bằng : 4.4 = 16 (cm\(^2\))

 Diện tích hình chữ nhật ABCD nhỏ hơn diện tích hình vuông (15 < 16)

 Ta chứng minh được trong các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng 2p thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

 Thật vậy , gọi a và b là các kích thước của hình chữ nhật, ta có :

 a + b = p

 Diện tích hình chữ nhật là :  S = a.b

 Hình vuông có chu vi 2p thì cạnh hình vuông bằng : \(\dfrac{2p}{4}=\dfrac{p}{2}\)

 Diện tích hình vuông là : S' \(=\dfrac{p^2}{4}=\dfrac{(a+b)^2}{4}\)

 Xét hiệu : S' - S = \(\dfrac{(a+b)^2}{4}-ab\) = \(\dfrac{(a+b)^2-4ab}{4}\) = \(\dfrac{(a+b)^2}{4} \geq0\)

Vậy : S' \(\geq\) S

 Dấu bằng xảy ra khi a = b.