Phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9

Phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9

Cùng  tìm hiểu về những nội dung lý thuyết quan trọng và giải bài tập về giải toán 9 phương trình bậc nhất hai ẩn!

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Dạng tổng quát cho phương trình được ký hiệu như sau:  \(ax + by = c\)

Điều kiện với các hệ số của từng ẩn cho trước là: \((a \ne 0) \  hoặc \ (b \ne 0) .\)

- Nếu các số thực \(({x_0},\,{y_0})\) thỏa mãn ax + by = c thì cặp số \(({x_0},\,{y_0})\) được gọi là nghiệm của phương trình \(ax + by = c\)

- Để thực hiện phép biểu diễn nghiệm \(({x_0},\,{y_0})\) của \(ax + by = c\)  ta thực hiện tham chiếu lên đồ thị với các điểm có tọa độ xác định như sau: \(({x_0},\,{y_0})\).

2. Xác định tập nghiệm

Tập xác định nghiệm của phương trình \(ax + by = c\) là vô hạn. Với một giá trị bất kỳ của x ta luôn luôn xác định được một giá trị bất kỳ của y.

Để biểu diễn nghiệm của phương trình ta nối các nghiệm lại với nhau ra đồ thị của hàm số d: \(ax + by = c\).

+) Nếu \(a \ne 0 \), b= 0 ta có tổng quát sau:  \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.\) khi đó đồ thị d ở dạng một đường thẳng có phương song song với Oy.

+) Nếu a = 0 và \(b \ne 0\)  thì phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.\) khi đó đồ thị d ở dạng một đường thẳng có phương song song với Ox.

+) Nếu \(a \ne 0 \) và \(b \ne 0\)  xác định được như sau \( \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.\)

\(y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\) là đồ thị d hay còn được gọi là tập xác định nghiệm.

Phương trình bậc nhất hai ẩn

II. Các dạng bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Dạng 1: Đối với một phương trình đã xác định được các hệ số của hai ẩn x và y, yêu cầu tìm giá trị thích hợp của c.

Phương pháp:

Nếu cặp số thực \(({x_0},\,{y_0})\) thỏa mãn \(ax + by = c\) thỏa mãn hai vế của phương trình đầu bài: \(ax + by = c\)

Dạng 2: Với phương trình hai ẩn ta tìm công thức tổng quát, tức tìm giá trị hợp lý của a, b, c. Biểu diễn trên hệ trục tọa độ Oxy.

Phương pháp:

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\)

1. Tập nghiệm của phương trình được xác định là một hàm số khi đó yêu cầu xác định ẩn y theo x với các tham số a, b và c. Ta gọi đó là công thức tổng quát.

2. Sau khi đã xác định được công thức nghiệm tổng quát ta sẽ biểu diễn tập nghiệm đó trên hệ trục tọa độ. Phương trình biểu diễn: \(ax + by = c\)

Dạng 3: Đối với dạng phương trình chứa số chưa biết m. Tìm điều kiện để \(ax + by = c\) thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Áp dụng các chú ý giải cho từng trường hợp dưới đây:

1. Nếu \(a \ne 0 \) và b = 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng \(d:x = \dfrac{c}{a}\).  Ta suy ra \(d//Oy \ hoặc \ d \ trùng \ Oy\).

2. Nếu a = 0 và \(b \ne 0\) thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng \(d:y = \dfrac{c}{b}\).  Ta suy ra \(d//Ox \ hoặc \ d \ trùng \ Ox\).

3. Đường thẳng d: \(ax + by = c\) đi qua điểm \(M({x_0},\,{y_0})\) khi và chỉ khi \(ax + by = c\).

Dạng 4: Số nghiệm nguyên thỏa mãn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn tổng quát.

Phương pháp:

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, ta làm như sau:

Cách 1:

Bước 1: Áp dụng công thức chia hết để ra điều kiện cho các nghiệm.

Bước 2: Biểu diễn x theo y từ các điều kiện đã sàng lọc từ đề bài.

Bước 3: Lập bảng giá trị với mỗi x sẽ tìm được một giá trị của y

Bước 4: Với các tập nghiệm phân bổ giá trị theo thứ tự sao cho hợp lý, yêu cầu nghiệm tìm được phải nguyên.

-  Tiếp tục xác định các giá trị từ phương trình nghiệm tổng quát đã xác định được từ trước.

Cách 2:

Bước 1. Xác định điều kiện hệ nghiệm phải thuộc tập Z.

Bước 2. Biến đổi công thức đề bài về dạng sau: \(a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\) với một giá trị của x ta sẽ tìm được một giá trị của y tương ứng. Lưu ý đặt điều kiện cho x

III. Luyện tập

Chọn phương trình tuân thủ đúng dạng tổng quát  \( \displaystyle y = ax + b\)?

a) \(\displaystyle 5x – y = 7\)

b) \(\displaystyle 3x + 5y = 10 \)

c) \(\displaystyle 0x + 3y  = -1\)

d) \(\displaystyle 6x – 0y = 18\)

Lời giải:

a) \(\displaystyle 5x - y = 7 \Leftrightarrow y = 5x - 7\)

Áp dụng vào dạng sau: \(\displaystyle y = ax + b\) ta tìm được các giá trị: \(\displaystyle a = 5 ; \displaystyle b = -7\)

b) \(\displaystyle \displaystyle 3x + 5y = 10 \Leftrightarrow y =  - {3 \over 5}x + 2.\)

Áp dụng vào dạng sau: \(\displaystyle y = ax + b\) ta tìm được các giá trị hợp lý sau đây:  \(\displaystyle a =  - {3 \over 5};b = 2\)

c) \(\displaystyle 0x + 3y =  - 1 \Leftrightarrow y =  - {1 \over 3}.\)

Áp dụng vào dạng sau: \(\displaystyle y = ax + b\) ta tìm được các giá trị hợp ly sau đây: \(\displaystyle a = 0;b =  - {1 \over 3}\)

d) (\( \displaystyle 6x - 0y = 18 \Leftrightarrow x = 3.\)

Không thể xác định được dạng \(\displaystyle y = ax + b\)

Với những gì đã giúp các bạn giải quyết về thế nào là phương trình bậc nhất hai ẩn trên đây, hy vọng rằng sẽ giúp các bạn đạt được kết quả cao trong học tập đặc biệt là môn Toán học!