Lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai là một trong những kiến thức quan trọng nhất của chương IV nghiên cứu về Phương trình bậc hai một ẩn. xin gửi tới các bạn bài lý thuyết công thức nghiệm của phương trình bậc hai và cách giải công thức nghiệm của phương trình bậc 2 đầy đủ và chi tiết nhất. Hy vọng với bài viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai sẽ giúp cho cho các bạn!

A. Một số kiến thức cần nhớ về công thức nghiệm của phương trình bậc hai

1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Với một phương trình bậc hai được cho bởi dạng \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện là \(a\neq 0\) và biệt thức \(\Delta\) được cho bởi công thức sau: \(\Delta\) = \(b^2-4ac\).

- Nếu \(\Delta\) nhận giá trị dương (\(\Delta>0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là có hai nghiệm phân theo công thức sau:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\), \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

- Nếu \(\Delta\) nhận giá trị bằng 0 (\(\Delta\) = 0) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là có nghiệm kép theo công thức sau:

\(x_{1}\) = \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b}{2a}\)

-  Nếu \(\Delta\) nhận giá trị âm (\(\Delta<0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là vô nghiệm (không có nghiệm)

Chú ý:

Cho một phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện là \(a\neq 0\) có hai thừa số là a và c ngược nhau về dấu, có nghĩa là tích của biểu thức chứa hai thừa số a và c là một số âm (\(ac <0\)) thì phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt vì biệt thức \(\Delta\) = \(b^2-4ac\) luôn mang giá trị dương.

B. Giải công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Dạng 1: Vận dụng các công thức nghiệm để tìm nghiệm của phương trình bậc 2

a, Cách giải phương trình bậc hai 

Trường hợp 1: Phương trình \(ax^2+bx+c=0\) bị thiếu hạng tử bậc nhất ẩn x thì ta sẽ dùng phương pháp như sau:

- Hạng tử tự do được chuyển sang phía vế phải, phương trình được đưa về dạng \(ax^2=c\) => \(x^2=\dfrac{a}{c}\)

+ Nếu \(\dfrac{a}{c} >0\) thì phương trình có hai nguyên phân biệt \(x=\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) hoặc \(x=-\sqrt{\dfrac{a}{c}}\)

+ Nếu \(\dfrac{a}{c} <0\) thì phương trình vô nghiệm (không có nghiệm)

Trường hợp 2: Phương trình \(ax^2+bx+c=0\) bị thiếu hạng tử tự do, phương trình sẽ có dạng \(ax^2+bx=0\)

Ta dùng phương pháp đặt nhân tử chung với biến x, từ đó phương trình có dạng \(x(ax+b)\)

Trường hợp 3: Phương trình đầy đủ

Ta dùng các công thức nghiệm với biệt thức \(\Delta\) hoặc \(\Delta'\) hoặc một số phương trình đặc biệt thì lựa chọn công thức nào nhanh nhất để giải.

b, Một số bài tập áp dụng 

Bài 1: Giải một số phương trình bậc hai sau:

\(a, 2x^2\) - \(4\) = 0

\(b, x^2\) + \(4x\) = 0

\(c,x^2\) - \(5x\) + \(4\) = 0

Hướng dẫn giải bài tập bài 1:

\(a, 2x^2\) - \(4\) = 0 

<=> \(2x^2\) = \(4\) <=> \(x^2\) = \(2\) <=> \(x= \sqrt{2}\) hoặc \(x= -\sqrt{2}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm riêng biệt là \(x= \sqrt{2}\) và \(x= \sqrt{2}\)

b, \(b, x^2\) + \(4x\) = 0

<=> \(x(x+4) = 0\) <=> Hoặc \(x=0\) hoặc \(x+4=0\) 

<=> Hoặc \(x=0\) hoặc \(x=-4\)

Vậy phương trình có hai nghiệm riêng biệt là \(x=0\) và \(x=-4\)

\(c,x^2\) - \(5x\) + \(4\) = 0

\(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((-5)^2-4.1.4\) = \(25-16\) = \(9\) \(>0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{5+3}{2}\) = \(4\)

\(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{5-3}{2}\) = \(1\)

Vậy phương trình có hai nghiệm riêng biệt là \(x=1\) và \(x=4\)

Bài 2: Phân tích a, b, c của các phương trình và giải hệ phương trình:

\(a, \) \(2x^2\) - \(2\sqrt{2}x\) + \(1\) = 0

\(b,\) \(2x^2\) - \((1-2\sqrt{2})x\) - \(\sqrt{2}\) = 0

\(c,\) \(\dfrac{1}{3}x^2\) - \(2x\) - \(\dfrac{2}{3}\) = 0

Hướng dẫn làm bài tập :

\(a, \) \(2x^2\) - \(2\sqrt{2}x\) + \(1\) = 0 

Ta có \(a=2\), \(b=-2\sqrt{2}\), \(c=1\)

\(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((-2\sqrt{2})^2-4.1.2\) = 0

Vậy phương trình có nghiệm kép là \(x_{1}\) = \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b}{2a}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(b,\) \(2x^2\) - \((1-2\sqrt{2})x\) - \(\sqrt{2}\) = 0

Ta có \(a=2\), \(b=-(1-2\sqrt{2})\), \(c=-\sqrt{2}\)

\(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((-1+2\sqrt{2})^2+4.2.\sqrt{2}\) = \((1+2\sqrt{2})^2\) \(>0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{1-2\sqrt{2}-1-2\sqrt{2}}{4}\) = \(-\sqrt{2}\)

\(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{1-2\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}}{4}\) = \(\dfrac{1}{2}\)

\(c,\) \(\dfrac{1}{3}x^2\) - \(2x\) - \(\dfrac{2}{3}\) = 0 <=> \(x^2-6x-2=0\)

Ta có \(a=1\), \(b=-6\), \(c=-2\)

\(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((-6)^2\) + \(4.2.1\) = \(36+8\) = \(44\) \(>0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{6+\sqrt{44 }}{2}\) = \(3+\sqrt{11}\)

\(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{6-\sqrt{44 }}{2}\) = \(3-\sqrt{11}\)

Dạng 2: Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai dạng \(ax^2+bx+c=0\) có tham số

a, Cách làm và biện luận 

Vận dụng công thức nghiệm để biện luận như sau:

- Nếu \(\Delta\) nhận giá trị dương (\(\Delta>0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là có hai nghiệm phân theo công thức sau:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\), \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

- Nếu \(\Delta\) nhận giá trị bằng 0 (\(\Delta\) = 0) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là có nghiệm kép theo công thức sau:

\(x_{1}\) = \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b}{2a}\)

-  Nếu \(\Delta\) nhận giá trị âm (\(\Delta<0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là vô nghiệm (không có nghiệm)

Lưu ý: Cũng có thể dùng công thức nghiệm thu gọn để biện luận

b, Một số bài tập áp dụng

Bài 1: Biện luận tham số m với phương trình sau và kết luận nghiệm:

\(mx^2-5x-m-5=0\)

Theo phương trình, ta có \(a=m\), \(b=-5\), \(c=-m-5\)

\(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((-5)^2+4m.(m+5)\) = \(25+4m^2+20m\) = \((2m+5)^2\) \(\geq 0\)

 Xét hai trường hợp:

 - Nếu \(\Delta\)= 0 => \(m=\dfrac{-5}{2}\). Vậy phương trình có nghiệm kép là \(x_{1}\) = \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b}{2a}\) = \(-1\)

- Nếu \(\Delta>0\) => \(m\neq \dfrac{-5}{2}\). 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{5+\left | 2m+5 \right |}{2m}\)

\(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{5-\left | 2m+5 \right |}{2m}\)

Bài 2: Biện luận m để các phương trình sau có nghiệm và giải các nghiệm theo tham số m 

\(a, mx^2+(2m-1)x+m+2=0\)

\(b, 2x^2-(4m+3)x+2m^2-1=0\)

Hướng dẫn giải bài tập bài 2: 

\(a, mx^2+(2m-1)x+m+2=0\)

Theo phương trình ta có \(a=m\), \(b=2m-1\), \(c=m+2\)

Xét trường hợp 1: \(m\neq 0\)

\(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((2m-1)^2-4m(m+2)\) = \(4m^2-4m+1-4m^2-8m\) = \(-12m+1\)

Theo yêu cầu đề bài, để phương trình có nghiệm => \(\Delta\) \(\geq 0\) <=> \(m\leq \dfrac{1}{12}\)

Vậy nghiệm của phương trình sẽ có dạng:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{1-2m+\sqrt{1-12m }}{2m}\)

\(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{1-2m-\sqrt{1-12m }}{2m}\)

Xét trường hợp 2: \(m=0\)

Nếu \(m=0\) thì phương trình \(mx^2+(2m-1)x+m+2=0\) sẽ quy về dạng \(-x+2=0\)

=> Phương trình có một nghiệm là \(x=2\). Vậy \(m=0\) thỏa mãn.

\(b, 2x^2-(4m+3)x+2m^2-1=0\)

\(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((4m+3)^2-4.2.(2m^2-1)\) = \(16m^2\) + \(24m\) + \(9\) - \(16m^2\) + \(8\) 

= \(24m\) +  \(7\) \(\geq 0\)

<=> \(m\geq \dfrac{-17}{24}\)

Vậy nghiệm của phương trình sẽ có dạng:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{4+3m+\sqrt{24+17m }}{4}\)

\(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{4+3m-\sqrt{24+17m }}{4}\)

Tham khảo thêm >>> 

Giải công thức nghiệm của phương trình bậc 2 Toán 9

Bài giảng phương trình quy về phương trình bậc hai và các dạng bài tập

đã đem lại cho các bạn lý thuyết công thức nghiệm của phương trình bậc hai và cách giải công thức nghiệm của phương trình bậc 2 qua bài viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nếu có đóng góp hay thắc mắc gì cho bài viết giải công thức nghiệm của phương trình bậc 2, các bạn hãy để lại comment dưới phần bình luận nhé!