Bài 3 trang 49 SGK Đại số 10

Đề bài

Xác định parabol \(y = ax^2+ bx + 2\), biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm \(M(1; 5)\) và \(N(- 2; 8)\);

b) Đi qua hai điểm \(A(3;- 4)\) và có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}.\)

c) Có đỉnh là \(I(2;- 2)\);

d) Đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) và tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}.\)

Hướng dẫn giải

Trục đối xứng của parabol là: \(x=-\frac{b}{2a}.\)

Đỉnh của parabol là: \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Vì parabol đi qua \(M(1; 5)\) nên tọa độ của \(M\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:  

        \(5 = a.1^2+ b.1 + 2\).

Tương tự, với \(N(- 2; 8)\) ta có:

         \(8 = a.(- 2)^2 + b.(- 2) + 2\) 

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} a+b+2=5\\ 4a-2b+2=8 \end{matrix}\right.\) 

ta được \(a = 2, b = 1\).

Parabol có phương trình là: \(y = 2x^2 + x + 2\).

b) Vì parabol đi qua hai điểm \(A(3;- 4)\) nên tọa độ \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:

          \(a(3)^{2}+b.3+2=-4\)

Parabol có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}\) nên ta có:

           \(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\\a(3)^{2}+b.3+2=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{3}\\ b=-1 \end{matrix}\right.\)

Phương trình parabol cần tìm là: \(y = -\frac{1}{3} x^2- x + 2\).

c) Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) do đó tọa độ \(I\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:

      \(a.2^2+b.2+2=-2\)           

Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) nên parabol có trục đối xứng là: \(x=2\) do đó:

       \( -\frac{b}{2a}=2\)          

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=2\\a.2^2+b.2+2=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-4 \end{matrix}\right.\)

Phương trình parabol cần tìm là: \(y = x^2- 4x + 2\).

d)  Vì parabol đi qua điểm  \(B(- 1; 6)\) nên tọa độ \(B\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:

         \(a(-1)^{2}+b(-1)+2=6\)

Parabol có tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}\) nên ta có:

         \({ - \frac{\Delta }{{4a}}}=-\frac{1}{4} \)

Khi đó ta có hệ phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
6 = a{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + 2\\
 - \frac{\Delta }{{4a}} =  - \frac{1}{4}
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - b = 4\\
{b^2} - 4ac = a
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9a = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9\left( {4 + b} \right) = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9b - 36 = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b =  - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 16\\
b = 12
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 16x^2+ 12x + 2\) hoặc \(y = x^2- 3x + 2\).