Bài 4 trang 79 SGK Đại số 10

Đề bài

 Chứng minh rằng: 

\({x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\), \(∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0\).

Hướng dẫn giải

Sử dụng từ bất đẳng thức \((x - y)^2\ge 0\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \((x - y)^2\ge 0\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} \ge xy\)

Do \(x ≥ 0, y ≥ 0\)

\(\Rightarrow x + y ≥ 0\),

Ta có

\(\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)({x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy){\rm{ }} \ge \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)xy\)

\(\Leftrightarrow {x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\)