Bài 5 trang 79 SGK Đại số 10

Đề bài

 Chứng minh rằng

\(x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0\).

Hướng dẫn giải

Đặt \(\sqrt x  = t\), sau đó xét 2 trường hợp \(0 \le x < 1;x \ge 1\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(\sqrt x = t, x ≥ 0 \Rightarrow t ≥ 0\).

Vế trái trở thành: \({t^8} - {t^5} + {t^2} - t + 1 = f(t)\)

+) Nếu \(t = 0\), hoặc \(t = 1\) thì \(f(t) = 1 >0\)

+) Với \(0 < t <1\),      

\(f\left( t \right){\rm{ }} = {t^8} + {\rm{ }}({t^2} - {\rm{ }}{t^5}) + 1{\rm{ }} - {\rm{ }}t\)

       \({t^8} > {\rm{ }}0;1{\rm{ }} - {\rm{ }}t{\rm{ }} > {\rm{ }}0,;{t^2} - {\rm{ }}{t^{5}} = {t^3}\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}t} \right){\rm{ }} \)\(> {\rm{ }}0\).

Suy ra \(f(t) > 0\).

+) Với \(t > 1\) thì \(f\left( t \right){\rm{ }} = {t^5}({t^3}-{\rm{ }}1){\rm{ }} + {\rm{ }}t\left( {t{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}0\)

Vậy \(f(t) > 0 ∀t ≥ 0\).

Hay \(x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0\).