Bài 2 trang 105 SGK Đại số 10

Đề bài

Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

a) \(f(x) =(3{x^2} - 10x + 3)(4x - 5)\);

b) \(f(x) = (3{x^2} - 4x)(2{x^2} - x - 1)\);

c) \(f(x) =\)\( (4{x^2} - 1)( - 8{x^2} + x - 3)(2x + 9)\);

d) \(f(x) = \frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}.\)

Hướng dẫn giải

Cho nhị thức: \(f(x)=a x+b\) ta có:

+) \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x \in\left( { - \frac{b}{a};\, + \infty } \right).\)

+) \(f(x)\) trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x \in \left( { + \infty ; \, - \frac{b}{a}} \right)\)

Cho đa thức bậc hai: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\;\;\left( {a \ne 0} \right),\;\;\)\(\Delta  = {b^2} - 4ac.\)

+) Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) với mọi \(x \in R.\)

+) Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) trừ khi \(x=-\frac{b}{2a}.\)

+) Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x < x_1\) hoặc \(x > x_2,\) trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x_1 < x < x_2\) trong đó \(x_1, \, \, x_2 \, \, (x_1 < x_2)\) là hai nghiệm của \(f(x).\)

Lời giải chi tiết

a) \(f(x) =(3{x^2} - 10x + 3)(4x - 5)\) 

Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left( {3{x^2} - 10x + 3} \right)\left( {4x - 5} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3{x^2} - 10x + 3 = 0\\
4x - 5 = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\
4x - 5 = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3}\\
x = 3\\
x = \frac{5}{4}
\end{array} \right..\)

Ta có bảng xét dấu:

   Kết luận:

\(f(x) < 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right) \cup \left( {{5 \over 4};3} \right)\)

\(f(x) > 0\) với \(x \in \left( {{1 \over 3};{5 \over 4}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

b) \(f(x) = (3{x^2} - 4x)(2{x^2} - x - 1)=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3{x^2} - 4x = 0\\
2{x^2} - x - 1 = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x\left( {3x - 4} \right) = 0\\
\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \frac{4}{3}\\
x = - \frac{1}{2}\\
x = 1
\end{array} \right..\)

Ta có bảng xét dấu:

Vậy \(f\left( x \right) > 0\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ;\; - \frac{1}{2}} \right)\)\( \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\)

\(f\left( x \right) < 0\;\;khi\;\;x \in \left( { - \frac{1}{2};\;0} \right) \cup \left( {1;\;\frac{4}{3}} \right).\)

c) \(f(x) =\)\( (4{x^2} - 1)( - 8{x^2} + x - 3)(2x + 9)=0\) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4{x^2} - 1 = 0\\
- 8{x^2} + x - 3 = 0\\
2x + 9 = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\\
- 8\left( {{x^2} - \frac{1}{8}x} \right) - 3 = 0\\
2x + 9 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - 1 = 0\\
2x + 1 = 0\\
- 8\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{{16}}} \right)}^2} - \frac{1}{{256}}} \right] - 3 = 0\\
2x + 9 = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\\
x = - \frac{1}{2}\\
- 8{\left( {x - \frac{1}{{16}}} \right)^2} - \frac{{95}}{{32}} = 0\;\;\left( {VN} \right)\\
x = - \frac{9}{2}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Ta có bảng xét dấu:

Vậy \(f\left( x \right) > 0\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ; - \frac{9}{2}} \right) \)\(\cup \left( { - \frac{1}{2};\;\frac{1}{2}} \right).\)

\(f\left( x \right) < 0\;\;khi\;\;x \in \left( { - \frac{9}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)\( \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)

d) \(f(x) = \frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}=0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {3{x^2} - x} \right)\left( {3 - {x^2}} \right) = 0\\
4{x^2} + x - 3 \ne 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x\left( {3x - 1} \right)\left( {3 - {x^2}} \right) = 0\\
\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \sqrt 3 \\
x = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
x \ne - 1\\
x \ne \frac{4}{3}
\end{array} \right..\)

   Ta có bảng xét dấu:

Vậy \(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - \sqrt 3 ;\; - 1} \right) \cup \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{3}{4};\;\sqrt 3 } \right).\)

\(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;\; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {\frac{1}{3};\;\frac{3}{4}} \right)\)\( \cup \left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right).\)