Bài 63 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có:

\( - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7\)

Hướng dẫn giải

Vì 2x² – 3x + 3 > 0 ∀x ∈ R (do a = 3 > 0; Δ = -15 < 0)

Nên:

\(\eqalign{
& - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7 \cr&\Leftrightarrow - 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a < \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;7(2{x^2} - 3x + 2) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0 \hfill \cr
13{x^2} - 26x - a + 14 > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)

Hệ (1) tương đương với mọi x:

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\Delta {'_1} = 1 - 3(a + 2) \le 0 \hfill \cr
\Delta {'_2} = 169 - 13(14 - a) < 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3a \ge - 5 \hfill \cr
13a < 13 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - {5 \over 3} \le a < 1\)