Bài 4 trang 37 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(2si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sinxcosx{\rm{ }} - {\rm{ }}3co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

b) \(3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\);

c) \(si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\) ;

d) \(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\).

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với sin và cos: \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\)

Bước 1: Xét \(\cos x = 0\) có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi \(\cos x \ne 0\).

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được: \(a\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + b\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + c = \frac{d}{{{{\cos }^2}x}}\)

- Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}};\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\) đưa phương trình về dạng: 

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0
\end{array}\)

- Đặt \(t=tanx\), giải phương trình bậc hai ẩn t và tìm các nghiệm t.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải chi tiết

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0\)

Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(2.1 + 0 - 0 = 0\) (vô nghiệm)

\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\sin x} \over {\cos x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0\)

Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 1 \hfill \cr   t =  - {3 \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Với \(t =  - {3 \over 2} \Rightarrow \tan x =  - {3 \over 2}\)

\(\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

b) \(3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2\)

Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(3.1 - 0 + 0 = 2\) (vô nghiệm)

\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,\,3{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - 4{{\sin x} \over {\cos x}} + 5 = {2 \over {{{\cos }^2}x}}  \cr   &  \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 4\tan x + 5 = 2\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 4\tan x + 3 = 0 \cr} \)

Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 1 \hfill \cr   t = 3 \hfill \cr}  \right.\)

Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Với \(t = 3 \Rightarrow \tan x = 3 \)

\(\Leftrightarrow x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

\(\eqalign{  & c)\,\,{\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 4\sin x\cos x - 4{\cos ^2}x = 1 \cr} \)

 Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(2 + 0 - 0 = 1\) (vô nghiệm)

\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,\,2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + 4{{\sin x} \over {\cos x}} - 4 = {1 \over {{{\cos }^2}x}}  \cr   &  \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + 4\tan x - 4 = {\tan ^2}x + 1  \cr   &  \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 4\tan x - 5 = 0 \cr} \)

Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 1 \hfill \cr   t =  - 5 \hfill \cr}  \right.\)

Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Với \(t =  - 5 \Rightarrow \tan x =  - 5\)

\(\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

\(\eqalign{  & d)\,\,2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x =  - 4  \cr   &  \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x - 4{\sin ^2}x =  - 4 \cr} \)

Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(0 + 0 - 4 =  - 4 \Rightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.

Khi \(\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,\,2 - 6\sqrt 3 {{\sin x} \over {\cos x}} - 4{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{ - 4} \over {{{\cos }^2}x}}  \cr   &  \Leftrightarrow 2 - 6\sqrt 3 \tan x - 4{\tan ^2}x =  - 4{\tan ^2}x - 4  \cr   &  \Leftrightarrow 6\sqrt 3 \tan x = 6  \cr   &  \Leftrightarrow \tan x = {1 \over {\sqrt 3 }}  \cr   &  \Leftrightarrow x = {\pi  \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = {\pi  \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).