Bài 3 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Biết hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \((1 - 3x)^n\) là \(90\). Tìm \(n\).

Hướng dẫn giải

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}};\,\,\frac{{{x^m}}}{{{x^n}}} = {x^{m - n}}\).

Để tìm hệ số của \(x^2\) ta cho số mũ của x bằng 2, giải phương trình tìm n.

Lời giải chi tiết

Với số thực \(x ≠ 0 \) và với mọi số tự nhiên \(n ≥ 1\), ta có:

\({(1 - 3x)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3x)}^k}  }\)

                   \(=\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3)}^k}.{x^k}} \)

Suy ra hệ số của \(x^2\) trong khai triển này là \(C_n^2{.1^{n - 2}}.{\left( { - 3} \right)^2}\). Theo giả thiết, ta có:

\(\begin{array}{l}
C_n^2{.1^{n - 2}}.{\left( { - 3} \right)^2} = 9C_n^2 = 90 \Leftrightarrow C_n^2 = 10\\
\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\
\Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 20\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 5\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\
n = - 4\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)