Bài 4 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \({\left( {{x^3} + {1 \over x}} \right)^8}\)

Hướng dẫn giải

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}};\,\,\frac{{{x^m}}}{{{x^n}}} = {x^{m - n}}\).

Để tìm hệ số của số hạng không chứa \(x\) ta cho số mũ của x bằng 0, giải phương trình tìm \(k\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \({\left( {{x^3} + {1 \over x}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{3.(8 - k)}}{\left( {{1 \over x}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 - 4k}}\)

Trong tổng \(\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 - 4k}}\) số hạng không chứa \(x\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}24 - 4k = 0\\k \in \left[ {0;8} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 6\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là \(C_8^6 = 28\).