Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt \(b\) chấm. Xét phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\). Tính xác suất sao cho:
a) Phương trình có nghiệm
b) Phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình có nghiệm nguyên.
Sử dụng các điều kiện của a, b để phương trình bậc hai có nghiệm \(\left( {\Delta \ge 0} \right)\), vô nghiệm \(\left( {\Delta < 0} \right)\) và điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên \(\Delta \) là số chính phương.
Lời giải chi tiết
Không gian mẫu là \(Ω = \left\{{1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}\). Số kết quả có thế có thể có là \(6\) (hữu hạn); các kết quả đồng khả năng.
Ta có bảng:
b
1
2
3
4
5
6
∆ = b2 - 8
-7
-4
1
8
17
28
b
1
2
3
4
5
6
∆ = b2 - 8
-7
-4
1
8
17
28
a) Phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(∆ = b^2 - 8 ≥ 0\) (*). Vì vậy nếu \(A\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm"
thì \(A =\left\{{3, 4, 5, 6}\right\}, n(A) = 4\) và \(P(A)\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).
b) Biến cố \(B\): "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) vô nghiệm" là biến cố \(B\), do đó theo qui tắc cộng xác suất ta có \(P(B) = 1 - P(A)\) = \(\frac{1}{3}\).
c) Nếu \(C\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm nguyên" thì \(C = \left\{{3}\right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 1\).
Thử lại ta có khi \(b=3\) thì phương trình trở thành \({x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy \(P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{6}.\)
Copyright © 2021 HOCTAP247