Bài 4 trang 34 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho vectơ \(v\), đường thẳng \(d\) vuông góc với giá của vectơ \(v\). Gọi \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \( \frac{1}{2}\) \( \overrightarrow{v}\). Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ \( \overrightarrow{v}\) là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng \(d\) và \(d'\).

Hướng dẫn giải

Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến và phép đối xứng trục.

Phép tịnh tiến theo vector \(\overrightarrow v \) biến điểm A thành điểm A’ \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v \).

Phép đối xứng trục d biến điểm A thành A’ \( \Leftrightarrow \) d là trung trực của AA’.

Lời giải chi tiết

Lấy A bất kì thuộc đường thẳng d, xác định điểm B sao cho \(\overrightarrow {AB}  = {{\overrightarrow v } \over 2}\), qua B kẻ đường thẳng d’ // d. Khi đó d’ chính là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vector \({{\overrightarrow v } \over 2}\).

Lấy M là một điểm bất kì, gọi \(M' = {D_d}\left( M \right);\,\,M'' = {D_{d'}}\left( {M'} \right)\)

Gọi \({M_0} = MM' \cap d;\,\,{M_1} = M'M'' \cap d' \Rightarrow {M_0}\) và \({M_1}\) lần lượt là trung điểm của \(MM'\) và \(M'M''\).

Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = 2\overrightarrow {{M_0}M'} ;\,\,\overrightarrow {M'M''}  = 2\overrightarrow {M'{M_1}} \)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \overrightarrow {MM''}  = \overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'M''}  = 2\overrightarrow {{M_0}M'}  + 2\overrightarrow {M'{M_1}}   \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {\overrightarrow {{M_0}M'}  + \overrightarrow {M'{M_1}} } \right) = 2\overrightarrow {{M_0}{M_1}}  = 2\overrightarrow {AB}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \overrightarrow v   \cr   &  \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M'' \cr} \)

Vậy phép tịnh tiến theo vector \(\overrightarrow v \) là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng \(d\) và \(d'\).