Câu 17 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 17. Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\lim \left( {3{n^3} - 7n + 11} \right)\)

b.  \(\lim \sqrt {2{n^4} - {n^2} + n + 2} \)

c.  \(\lim \root 3 \of {1 + 2n - {n^3}} \)

d.  \(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} .\)

Hướng dẫn giải

a.

\(\eqalign{
& \lim \left( {3{n^3} - 7n + 11} \right) = \lim {n^3}\left( {3 - {7 \over {{n^2}}} + {{11} \over {{n^3}}}} \right) = + \infty \cr
& \text{ vì }\,{{\mathop{\rm limn}\nolimits} ^3} = + \infty \text{ và }\lim \left( {3 - {7 \over {{n^2}}} + {{11} \over {{n^3}}}} \right) = 3 > 0 \cr} \)

b.

\(\eqalign{
& \lim \sqrt {2{n^4} - {n^2} + n + 2} = \lim {n^2}.\sqrt {2 - {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^4}}}} = + \infty \cr
& \text{ vì }\;\lim {n^2} = + \infty  \text{ và }\lim \sqrt {2 - {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^4}}}} = \sqrt 2 > 0 \cr} \)

c.

\(\eqalign{
& \lim \root 3 \of {1 + 2n - {n^3}} = \lim n\root 3 \of {{1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^2}}} - 1} = - \infty \cr
& \text{ vì }\lim n = + \infty \text{ và }\lim \root 3 \of {{1 \over {{n^3}}} + {2 \over {{n^2}}} - 1} = - 1 < 0 \cr} \)

d.

\(\sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^n}\sqrt {2 - {n \over {{3^n}}} + {2 \over {{3^n}}}} \) với mọi n.

Vì \(\lim {n \over {{3^n}}} = 0\) (xem bài tập 4) và  \(\lim {2 \over {{3^n}}} = 0\)

Nên  \(\lim \sqrt {2 - {n \over {{3^n}}} + {2 \over {{3^n}}}} = \sqrt 2 > 0\)

Ngoài ra  \(\lim {\left( {\sqrt 3 } \right)^n} = + \infty \)

Do đó  \(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} = + \infty \)