Bài 3 trang 126 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x)\)

b) \(f(x) = sin4x cos^2 2x\)

c) \(f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}}\)

d) \(f(x) = (e^x- 1)^3\)

Hướng dẫn giải

Sử dụng công thưc nguyên hàm cơ bản các các quy tắc tìm nguyên hàm để giải bài toán.

a) Rút gọn hàm số \(f(x)\) và đưa hàm số về dạng tìm nguyên hàm của hàm đa thức.

b) Sử dụng các công thức lượng giác, biến đổi để đơn giải biểu thức lấy nguyên hàm và tính nguyên hàm của hàm lượng giác cơ bản.

c) Dùng quy tắc tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ.

d) Khai triển hằng đẳng thức và tìm nguyên hàm của hàm có chứa \(e^x.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(f\left( x \right)= ( - 2{x^2} + 3x-1)\left( {1 - 3x} \right)\)

          \( =6{x^3}-11{x^2} +6x-1.\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F\left( x \right) = \int {\left( {6{x^3} - 11{x^2} + 6x - 1} \right)dx}  \\= \frac{3}{2}{x^4} - \frac{{11}}{3}{x^3} + 3{x^2} - x + C.\)

b) Ta có:

\(f\left( x \right) = \sin 4x.co{s^2}2x = \sin 4x.{{1 + \cos 4x} \over 2}\)
\(= {1 \over 2}(\sin 4x + \sin 4x.cos4x)\)

\(= {1 \over 2}(\sin 4x + {1 \over 2}\sin 8x) \)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: 

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \frac{1}{2}\int {\left( {\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 8x} \right)dx} \\
\;\;\;\;\;\;\; = - \frac{1}{8}\cos 4x - \frac{1}{{32}}\cos 8x + C.
\end{array}\)

c) Ta có:

 \(f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}} = {1 \over 2}({1 \over {1 - x}} + {1 \over {1 + x}})\)

Vậy nguyên hàm của f(x) là: 

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}}} \right)} dx\\
\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}\left( { - \ln \left| {1 - x} \right| + \ln \left| {1 + x} \right| + C} \right)\\
\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}ln\left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C.
\end{array}\)

d) Ta có: \(f(x) ={e^{3x}}-3{e^{2x}} + 3{e^x}-1\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là 

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{2x}} + 3{e^x} - 1} \right)dx} \\
\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{3}{e^{3x}} - \frac{3}{2}{e^{2x}} + 3{e^x} - x + C.
\end{array}\)