Bài 4 trang 126 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính:

a) \(\int {(2 - x)\sin {\rm{x}}dx} \)

b) \(\int {{{{{(x + 1)}^2}} \over {\sqrt x }}} dx\)

c) \(\int {{{{e^{3x}} + 1} \over {{e^x} + 1}}} dx\)

d) \(\int {{1 \over {{{(\sin x + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}}}} dx\)

e) \(\int {{1 \over {\sqrt {1 + x}  + \sqrt x }}} dx\)

g) \(\int {{1 \over {(x + 1)(2 - x)}}} dx\)

Hướng dẫn giải

+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và các phương pháp tính nguyên hàm để làm bài toán.

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(u = 2 – x; \, \,  dv = sinx dx\)

\(\Rightarrow du = -dx; \, \,  v = -cosx\)

Khi đó ta có: 

\(\eqalign{
& \int {(2 - x)\sin {\rm{x}}dx} = (x - 2)cosx - \int {{\mathop{\rm cosxdx}\nolimits} } \cr
& = (x - 2)cosx - s{\rm{inx}} + C \cr} .\)

b) Điều kiện: \(x > 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \int {{{{{(x + 1)}^2}} \over {\sqrt x }}} dx = \int {{{{x^2} + 2x + 1} \over {{x^{{1 \over 2}}}}}} dx \cr
& = \int {({x^{{3 \over 2}}}} + 2{x^{{1 \over 2}}} + {x^{{-1 \over 2}}})dx \cr
& = {2 \over 5}{x^{{5 \over 2}}} + {4 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + 2{x^{{1 \over 2}}} + C. \cr} \)

c) Ta có: \({e^{3x}} + 1={({e^x})^3} + 1 = ({e^x} + 1)({e^{2x}}-{e^x} +1)\)

Do đó:

\(\eqalign{
& \int {{{{e^{3x}} + 1} \over {{e^x} + 1}}} dx = \int {\left( {{e^{2x}}-{\rm{ }}{e^x} + {\rm{ }}1} \right)} dx \cr
& = {1 \over 2}{e^{2x}} - {e^x} + x + C .\cr} \)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \int {{1 \over {{{(\sin x + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}}}} dx   = \int {\frac{{dx}}{{{{\left[ {\sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]}^2}}}} \cr &= \int {{{d(x - {\pi \over 4})} \over {2{{\cos }^2}(x - {\pi \over 4})}}} = {1 \over 2}\tan (x - {\pi \over 4}) + C \cr} \)

e) Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, ta có:

\(\eqalign{
& \int {{1 \over {\sqrt {1 + x} + \sqrt x }}} dx = \int {(\sqrt {1 + x} } - \sqrt x )dx \cr
& = \int {\left[ {{{(1 + x)}^{{1 \over 2}}} - {x^{{1 \over 2}}}} \right]} dx = {2 \over 3}{(x + 1)^{{3 \over 2}}} - {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + C \cr} \)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \int {{1 \over {(x + 1)(2 - x)}}} dx = {1 \over 3}\int {({1 \over {1 + x}}} + {1 \over {2 - x}})dx \cr
&  = \frac{1}{3}\left( {\ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {2 - x} \right| + C} \right)= {1 \over 3}\ln |{{1 + x} \over {2 - x}}| + C .\cr}.\)