Bài 11 trang 53 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(r\). Gọi \(O, O'\) là tâm của hai đáy với \(OO' = 2r\). Một mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại \(O\) và \(O'\). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

(B) Diện tích mặt cầu bằng \({2 \over 3}\) diện tích toàn phần của hình trụ.

(C) Thể tích khối cầu bằng \({3 \over 4}\) thể tích khối trụ.

(D) Thể tích khối cầu bằng \({2 \over 3}\) thể tích khối trụ.

Hướng dẫn giải

Một mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại \(O\) và \(O'\) có đường kính bằng \(OO'\), từ đó suy ra bán kính \(R\) của khối cầu \((S)\) và sử dụng các công thức tính diện tích và thể tích khối cầu: \(S = 4\pi {R^2};\,\,V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\). 

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ \(S = 2\pi Rh;\,\,V = \pi {R^2}h\) và so sánh.

Lời giải chi tiết

Mặt cầu có đường kính \(2r\) nên có bán kính là \(r\) và có diện tích:

\(S = 4\pi {r^2}\) và \(V = {4 \over 3}\pi {r^3}\)

Mặt trụ có bán kính \(r\) và chiều cao \(2r\) nên có:

\({S_{xq}} = 4\pi {r^2}\); \({S_{tp}} = 6\pi {r^2}\); \(V = 2\pi {r^3}\).

Do đó A, B, D đúng.

Chọn (C).