Bài 6 trang 50 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Từ tâm \(O\) của hình vuông dựng đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Trên \(\Delta\) lấy điểm \(S\) sao cho \(OS ={a \over 2}\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\). Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Hướng dẫn giải

Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.

Bước 1: Xác định trục d của mặt đáy (trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.

Bước 3: Xác định \(I = \left( P \right) \cap d\), khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Sau khi xác định được tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD tính bán kính R của mặt cầu đó và sử dụng các công thức tính diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\) và thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).

Lời giải chi tiết

Do \(\Delta\) là trục của hình vuông \(ABCD\), nên tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên \(\Delta\).

ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2  \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vì \(SO = {a \over 2} < OC\) nên tâm \(I\) của mặt cầu nằm trên phần kéo dài của \(SO\).

Ta có: \(SI = IC \Rightarrow {a \over 2} + OI = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} \)

\( \Rightarrow {\left( {{a \over 2} + OI} \right)^2} = O{I^2} + {{{a^2}} \over 2}\)

\( \Rightarrow O{I^2} + a.OI + {{{a^2}} \over 4} = O{I^2} + {{{a^2}} \over 2}\)

\( \Rightarrow OI = {a \over 4} \Rightarrow R = SO + OI = {{3a} \over 4}\)

Vậy tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên \(SO\) mà \(SI = R =\) \({{3a} \over 4}\) ; (\(R\) là bán kính hình cầu). Khi đó diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = {9 \over 4}\pi {a^2}\) (đvdt)

Thể tích của khối cầu là: \(V = {4 \over 3}\pi {R^3} = {9 \over {16}}{\pi ^3}\) (đvdt)