Bài 51 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 51.Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số \(y = 4 - {x^2},y =  - x + 2;\)
b) Các đường cong có phương trình \(x = 4 - 4{y^2}\) và \(x = 1 - {y^4}\) trong miền \(x\ge0\).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\(4 - {x^2} = - x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Do đó 

\(\eqalign{
& S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {4 - {x^2} - \left( { - x + 2} \right)} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - {x^2} + x + 2} \right|} dx \cr
& \,\,\, = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + x + 2} \right)} dx = \left. {\left( { - {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^2 = {9 \over 2} \cr} \)

b) Phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là

\(4 - 4{y^2} = 1 - {y^4} \Leftrightarrow {y^4} - 4{y^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{y^2} = 1 \hfill \cr
{y^2} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = \pm 1 \hfill \cr
y = \pm \sqrt 3\; (\text{ loại vì } x<0)\hfill \cr} \right.\)

Diện tích giới hạn hai đồ thị ở phần \(x \ge 0\) là:

\(\eqalign{
& S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {4 - 4{y^2} - \left( {1 - {y^4}} \right)} \right]} dy \cr
& \,\,\, = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{y^4} - 4{y^2} + 3} \right)} dy \cr
& \,\, = \left. {\left( {{{{y^5}} \over 5} - {4 \over 3}{y^3} + 3y} \right)} \right|_{ - 1}^1 = 2.{{28} \over {15}} = {{56} \over {15}} \cr} \)

Copyright © 2021 HOCTAP247