Hình học 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độ

Trước khi đi vào định nghĩa, ta xét hình sau:

Hình trên mô phỏng một nửa đường tròn có bán kín bằng 1. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị.

Điểm M thuộc nửa đường tròn ấy, vậy góc cho trước có độ lớn từ 0 độ đến 180 độ.

Với mỗi góc \(\alpha(0^o\leq \alpha\leq 180^o)\), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn sao cho \(\widehat{MOx}=\alpha\). Giả sử điểm M(x;y). Khi đó:

Tung độ y của điểm M được gọi là sin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(sin\alpha\)

Hoành độ x của điểm M được gọi là cosin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cos\alpha\).

Tỉ số  \(\frac{y}{x}\) \((x\neq 0)\) được gọi là tan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(tan\alpha\)

Tỉ số  \(\frac{x}{y}\) \((y\neq 0)\) được gọi là côtan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cot\alpha\)

Tính chất quan trọng:

Nếu hai góc bù nhau thì sin của chúng bằng nhau, còn cos, tan và cot của chúng đối nhau, cụ thể là:

• \(sin(180^o-\alpha)=sin\alpha\)
• \(cos(180^o-\alpha)=-cos\alpha\)
• \(tan(180^o-\alpha)=-tan\alpha(\alpha\neq 90^o)\)
• \(cot(180^o-\alpha)=-cot\alpha(0^o<\alpha<180^o)\)

Bài 1: 

Tính giá trị của biểu thức sau (không dùng máy tính):

\((sin45^o+cos90^o-tan60^o)(cos60^o+sin45^o)\)

Hướng dẫn:

\((sin45^o+cos90^o-tan60^o)(cos60^o+sin45^o)\)

\(=(\frac{\sqrt{2}}{2}+0-\sqrt{3})(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})\)

\(=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}.\frac{1+\sqrt{2}}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2-2\sqrt{6}}{4}\)

 

Bài 2: 

Thực hiện phép tính: 

\(sin107^o+sin73^o+cos20^o+cos160^o\)

Hướng dẫn: 

\(sin107^o+sin73^o+cos20^o+cos160^o\)

Vì \(sin107^o=sin73^o\)

và \(cos20^o=-cos160^o\)

nên: \(sin107^o+sin73^o+cos20^o+cos160^o\)

\(=sin107^o+sin107^o+cos20^o-cos20^o\)

\(=2sin107^o\)

 

Bài 3: 

Chứng minh hệ thức \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)

Hướng dẫn: Ta xem lại hình vẽ đã mô phỏng ở phần lí thuyết:

Nhận thấy rằng, trong tam giác vuông có chứa góc \(\alpha\) và nửa đường tròn bán kính bằng 1.

Áp dụng định lý Pytago, ta có được là \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) chính là tổng bình phương của hai cạnh góc vuông nên có độ lớn bằng cạnh huyền bình phương.

Mà cạnh huyền chính là bán kính của nửa đường tròn, vậy \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1^2=1\) và ta có dpcm.

 

Bài 2: 

Chứng minh hệ thức \(1+tan^2x=\frac{1}{cos^2x}\) với góc x khác 90 độ.

Hướng dẫn: 

Xét tam giác vuông có cạnh huyền bằng 1, góc x là một góc nhọn, ta có: 

\(tanx=\frac{AB}{AC}\Rightarrow tan^2x=\frac{AB^2}{AC^2}\)

\(\Rightarrow tan^2x+1=\frac{AB^2+AC^2}{AC^2}=\frac{BC^2}{AC^2}=1:\left ( \frac{AC}{BC} \right )^2=\frac{1}{cos^2x}\)

Các trường hợp góc x tù, ta vẽ đường cao và chứng minh tương tự.

Ở lớp dưới, chúng ta đã biết các giá trị của sin, côsin, tan hay côtan của một góc nhọn x nào đó, vậy lên chương trình cấp THPT, có thể bao gồm góc tù hay bất kì một góc nào đó cho trước độ lớn hay không? Chúng ta cùng đi vào bài đầu tiên của chương 2 Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 2 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Giá trị của biểu thức: \(sin^2x+cos^2x\) là:

  • A.
  • B. \(1\)
  • C. \(2cos^2x\)
  • D. \(2sin^2x\)

• Câu 2:

  Giá trị của biểu thức \(sin75^o+sin105^o\) là:

   

  • A.
  • B. \(2sin^275^o\)
  • C. \(sin^275^o\)
  • D. \(2sin75^o\)

• Câu 3:

  Giá trị của biểu thức \(sin^290^o+cos^20^o+tan60^o-cot45^o\) là:

  • A. \(\sqrt{3}+1\)
  • B. \(\sqrt{3}-1\)
  • C. \(\sqrt{3}+2\)
  • D. \(\sqrt{3}-2\)

Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 2 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 2.4 trang 81 SBT Hình học 10

Bài tập 2.5 trang 82 SBT Hình học 10

Bài tập 2.6 trang 82 SBT Hình học 10

Bài tập 2.7 trang 82 SBT Hình học 10

Bài tập 2.8 trang 82 SBT Hình học 10

Bài tập 2.9 trang 82 SBT Hình học 10

Bài tập 2.10 trang 82 SBT Hình học 10

Bài tập 2.11 trang 82 SBT Hình học 10

Bài tập 2.12 trang 82 SBT Hình học 10

Bài tập 1 trang 43 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 2 trang 43 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 3 trang 43 SGK Hình học 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.