\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = 0\) .Hay là: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {u_n} = 0\) khi và chỉ khi với mọi \(\varepsilon > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho: \(\left| {{u_n}} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), tức là: Với mọi \(\varepsilon > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho \(\left| {{u_n} - a} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).

Dãy số (u_n) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

b) Một số giới hạn đặc biệt

\( \bullet \) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\)

\( \bullet \) Nếu \({u_n} = c\) (với \(c\) là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } c = c\)

Chú ý: Ta viết \(\lim {u_n} = a\) thay cho cách viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\).

1.2. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1. Nếu dãy số (u_n) thỏa \(\left| {{u_n}} \right| < {v_n}\) kể từ số hạng nào đó trở đi và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Định lí 2. Cho \(\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} = b\). Ta có:

\( \bullet \)\(\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\) \( \bullet \)\(\lim ({u_n} - {v_n}) = a - b\)

\( \bullet \) \(\lim ({u_n}.{v_n}) = a.b\) \( \bullet \) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}{\rm{ (}}b \ne 0)\)

\( \bullet \) Nếu \({u_n} \ge 0{\rm{ }}\forall n\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \)

1.3. Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN \(({u_n})\) có công bội q thỏa \(\left| q \right| < 1\). Khi đó tổng

\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ....\) gọi là tổng vô hạn của CSN và

\(S = \lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

1.4. Giới hạn vô cực

a) Định nghĩa

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \Leftrightarrow \) với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \).

b) Một số kết quả đặc biệt

\( \bullet \)\(\lim {n^k} = + \infty \) với mọi \(k > 0\)

\( \bullet \) \(\lim {q^n} = + \infty \) với mọi \(q > 1\).

c) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1: Nếu \(\lim {u_n} = \pm \infty \), \(\lim {v_n} = \pm \infty \) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:

\(\lim {u_n}\)

\(\lim {v_n}\)

\(\lim ({u_n}{v_n})\)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)

Quy tắc 2: Nếu \(\lim {u_n} = \pm \infty \), \(\lim {v_n} = l\) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:

\(\lim {u_n}\)

Dấu của \(l\)

\(\lim ({u_n}{v_n})\)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( + \)

\( - \)

\( + \)

\( - \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)

Quy tắc 3: Nếu \(\lim {u_n} = l\),\(\lim {v_n} = 0\) và \({v_n} > 0\) hoặc \({v_n} < 0\) kể từ một số hạng nào dó trở đi thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) được coi như sau:

Dấu của \(l\)

Dấu của \({v_n}\)

\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( + \)

\( - \)

\( + \)

\( - \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)

Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Phương pháp:

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} - \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]\) trong đó \(\lim f(n) = \lim g(n) = + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.

Ví dụ 1:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).

b) \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}} = \lim \frac{{{n^4}\left( {\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right)}}{{{n^4}\left( {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = 0.\)

Ví dụ 2:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} - n}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 - \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}.\)

b) Ta có: \(B = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} - 1} \right)}} = \frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}\).

Ví dụ 3:

Tính giá trị của \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} + 6n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}} = 3.\)

\( = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}} = 3\)

Ví dụ 4:

Tính giá trị của \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right)\)

\( = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\)

\( = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1}} - \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} = \frac{1}{3}\).

Ví dụ 5:

Tìm giới hạn sau \(C = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(1 - \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{(k - 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}\) nên suy ra

\(\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}...\frac{{(n - 1)(n + 1)}}{{{n^2}}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)

Do vậy \(C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}\).

3. Luyện tập Bài 1 chương 4 giải tích 11

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới của phân môn Giải tích lá Giới hạn. Ở bài học này các em sẽ được tìm hiểu về giới hạn của dãy số và các phương pháp tính được thể hiện cụ thể qua các ví dụ minh họa.

3.1 Trắc nghiệm về Giới hạn của dãy số

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 4 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
- A. \(\frac{1}{n}\)
- B. \(\frac{1}{{\sqrt n }}\)
- C. \(\frac{{n + 1}}{n}\)
- D. \(\frac{{\sin n}}{{\sqrt n }}\)
Câu 2:
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
- A. \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}\)
- B. \({\left( { - \frac{4}{3}} \right)^n}\)
- C. \({\left( { - \frac{5}{3}} \right)^n}\)
- D. \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\)
Câu 3:
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
- A. \({\left( {0,999} \right)^n}\)
- B. \({\left( { - 1,01} \right)^n}\)
- C. \({\left( {1,01} \right)^n}\)
- D. \({\left( { - 2,001} \right)^n}\)
Câu 4:
Dãy nào sau đây không có giới hạn?
- A. \({\left( {0,99} \right)^n}\)
- B. \({\left( { - 1} \right)^n}\)
- C. \({\left( { - 0,99} \right)^n}\)
- D. \({\left( { - 0,89} \right)^n}\)
Câu 5:
\(\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 3}}\) có giá trị là bao nhiêu?
- A. \( - \frac{1}{3}\)
- B. -1
- C. 0
- D. \( - \frac{1}{4}\)
Câu 6:
\(\lim \left( {\frac{{3 - 4n}}{{5n}}} \right)\) có giá trị là bao nhiêu?
- A. \(\frac{3}{5}\)
- B. \(-\frac{3}{5}\)
- C. \(\frac{4}{5}\)
- D. \(-\frac{4}{5}\)
Câu 7:
\(\lim \frac{{{2^n} + {3^n}}}{{{3^n}}}\) có giá trị là bao nhiêu?
- A. 0
- B. 1
- C. \(\frac{2}{3}\)
- D. \(\frac{5}{3}\)
Câu 8:
\(\lim \sqrt {4 - \frac{{{\rm{cos}}\,2n}}{n}} \) có giá trị là bao nhiêu?
- A. 0
- B. \(\sqrt2\)
- C. 2
- D. 4

Câu 9- Câu 23: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Giới hạn của dãy số

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 4 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 9 trang 135 SGK Toán 11 NC

Bài tập 10 trang 135 SGK Toán 11 NC

Bài tập 11 trang 142 SGK Toán 11 NC

Bài tập 13 trang 142 SGK Toán 11 NC

Bài tập 14 trang 142 SGK Toán 11 NC

Bài tập 15 trang 142 SGK Toán 11 NC

Bài tập 16 trang 143 SGK Toán 11 NC

Bài tập 17 trang 143 SGK Toán 11 NC

Bài tập 18 trang 143 SGK Toán 11 NC

Bài tập 19 trang 143 SGK Toán 11 NC

Bài tập 20 trang 143 SGK Toán 11 NC