Cho tam giác ABC, AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Tính BI ?

* Hướng dẫn giải

- Ta có AB = AC = 10cm

Suy ra ΔABC cân tại A.

- Có I là giao các đường phân giác của ΔABC.

Suy ra AI, BI là đường phân giác của ΔABC

- Gọi H là giao của AI và BC.

- Khi đó ta có AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân ABC (tính chất tam giác cân).

⇒ H là trung điểm của cạnh BC \(\Rightarrow BH = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6cm\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

AH² + BH² = AB² ⇔ AH² + 6² = 10² ⇔ AH² = 100 − 36 = 64 ⇒ AH = 8

Vì BI là phân giác của tam giác ABH nên:

\(\begin{array}{l} \frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AI}}{{IH}} = \frac{{AH - IH}}{{IH}}\\ \Leftrightarrow \frac{{10}}{6} = \frac{{8 - IH}}{{IH}}\\ \Leftrightarrow 10IH = 48 - 6IH\\ \Leftrightarrow IH = 3 \end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác BHI vuông tại H, ta có:

BI² = IH² + BH² ⇔ BI² = 3² + 6² ⇔ BI² = 45

⇒ BI = \(3\sqrt 5 \)