Cho tam giác ABC, A = {90^0}\), AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH (H ∈ BC). Tia phân giác của {HAB}\) cắt HB tại D . Tia phân giác {HAC}\) cắt HC tại E . Tính DH?

* Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A , ta có:

AB² + AC² = BC² ⇔ 15² + 20² = BC² ⇒ BC = 25

Ta có: \(\begin{array}{l} {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.AH.BC\\ \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{15.20}}{{25}} = 12 \end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác AHB vuông tại H , ta có:

AB² = AH² + HB² ⇔ 15² = 12² + HB² ⇒ HB² = 81 ⇒ HB = 9 ⇒ HC = BC − HB = 25 − 9 = 16.

Vì AD là phân giác của tam giác ABH nên:

\(\begin{array}{l} \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{BD}}{{DH}} \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{BH - DH}}{{DH}}\\ \Leftrightarrow \frac{{15}}{{12}} = \frac{{9 - DH}}{{DH}} \Leftrightarrow 15DH = 108 - 12DH\\ \Rightarrow DH = 4cm \end{array}\)