Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC,AC,AB theo thứ tự ở D, E, F. Tổng \(c\) bằng tỉ số nào dưới đây?

* Hướng dẫn giải

Qua AA kẻ đường thẳng song song với BC, cắt CF, BE lần lượt tại H, K.

AH // BC nên theo định lí Talet ta có: 

\(\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{{AH}}{{BC}}\)

AK // BC nên theo định lí Talet ta có: \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AK}}{{BC}}\)

Suy ra \(\frac{{AF}}{{FB}} + \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AH}}{{BC}} + \frac{{AK}}{{BC}} = \frac{{HK}}{{CB}}hay\frac{{AF}}{{FB}} + \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{HK}}{{CB}}(1)\)

Lại có:

AH // DC nên theo định lí Talet ta có:

\(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AH}}{{DC}}\)

AK // BD nên theo định lí Talet ta có: \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AK}}{{BD}}\)

Do đó \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AH}}{{DC}} = \frac{{AK}}{{BD}}(2)\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{{AH}}{{DC}} = \frac{{AK}}{{BD}} = \frac{{AI + AK}}{{DC + BD}} = \frac{{HK}}{{BC}}(3)\)

Từ (2) và (3) suy ra: \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{HK}}{{BC}}(4)\)

Từ (1) và (4) suy ra: \(\frac{{AF}}{{FB}} + \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AI}}{{ID}}\)