Giải phương trình sau: \(x + \dfrac{1}{x}= x^2+\dfrac{1}{x^{2}}\)

* Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(x \ne 0\).

Quy đồng mẫu thức: \(\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2}}} + \dfrac{x}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)

⇒ \({x^3} + x = {x^4} + 1\)  (1)

\(\begin{array}{l}
(1)\;\Leftrightarrow {x^4} - {x^3} - x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^3}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
{x^3} - 1 = 0 
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \\
{x^3} = 1
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)

Giá trị \(x=1\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\).