Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn điều kiện \(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le \sqrt 2 \).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \left| {{x^2} - {y^2}}...

* Hướng dẫn giải

Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn điều kiện \(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le \sqrt 2 \).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \left| {{x^2} - {y^2}} \right| + \left| {{y^2} - {z^2}} \right| + \left| {{z^2} - {x^2}} \right|\).

Ta có: \(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le \sqrt 2 \)nên không mất tính tổng quát giả sử:

\(0 \le \left| z \right| \le \left| y \right| \le \left| x \right| \le \sqrt 2  \Rightarrow 0 \le {z^2} \le {y^2} \le {x^2} \le 2\). Khi đó:

\(M = \left| {{x^2} - {y^2}} \right| + \left| {{y^2} - {z^2}} \right| + \left| {{z^2} - {x^2}} \right| = {x^2} - {y^2} + {y^2} - {z^2} + {x^2} - {z^2} = 2{x^2} - 2{z^2}\) \(\)

Có \({x^2} \le 2 \Rightarrow 2{x^2} \le 4\,\,;\,\,{z^2} \ge 0 \Rightarrow  - 2{z^2} \le 0\)

\( \Rightarrow M = 2{x^2} - 2{z^2} \le 4\)

Dấu “=”  xảy ra  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 2 \Rightarrow x =  \pm \sqrt 2 \\{z^2} = 0 \Rightarrow z = 0\\\left| y \right| \le \sqrt 2  - \left| x \right| - \left| z \right| = 0 \Rightarrow y = 0\end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 4, đạt được khi có một số bằng \(\sqrt 2 \) hoặc \( - \sqrt 2 \) và hai số còn lại bằng 0.

Chọn B.