Tìm \(\left( {x,y} \right)\) nguyên thỏa mãn phương trình: \(10{x^2} + 20{y^2} + 24xy + 8x - 24y + 52 = 0.\)

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,10{x^2} + 20{y^2} + 24xy + 8x - 24y + 52 = 0\\ \Leftrightarrow 9{x^2} + 16{y^2} + 24xy + {x^2} + 8x + 16 + 4{y^2} - 24y + 36 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {3x + 4y} \right)^2} + {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {2y - 6} \right)^2} = 0\end{array}\)

Vì \({\left( {3x + 4y} \right)^2} \ge 0\,;\,{\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0\,;\,{\left( {2y - 6} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y nên để phương trình thỏa mãn thì :

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 0\\x + 4 = 0\\2y - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\,\,\left( {tm} \right)\\y = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy với \(\left( {x,y} \right) = \left( { - 4;3} \right)\) thỏa mãn phương trình đề bài.

Chọn A.