Cho \(x > 0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M = 4{x^2} - 3x + \dfrac{1}{{4x}} + 2020\)

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = 4{x^2} - 3x + \dfrac{1}{{4x}} + 2020\\ = 4{x^2} - 4x + x + \dfrac{1}{{4x}} + 1 + 2019\\ = \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x + \dfrac{1}{{4x}}} \right) + 2019\\ = {\left( {2x - 1} \right)^2} + \left( {x + \dfrac{1}{{4x}}} \right) + 2019\end{array}\)

Ta có: \({\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x > 0\).

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương là \(x\) và \(\dfrac{1}{{4x}}\) ta có:

\(x + \dfrac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{1}{{4x}}} \) \( = 2.\sqrt {\dfrac{1}{4}}  = 2.\dfrac{1}{2} = 1\)

\( \Rightarrow M \ge 0 + 1 + 2019 = 2020\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\x = \dfrac{1}{{4x}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 1\\4{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)

Vậy GTNN của M là \(2020\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\).