Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng 2 dm. Tính độ dài đoạn thẳng MN nối trung điểm 2 cạnh đối AB và SC.

* Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có:

\(\begin{align}  & AM=MB=\frac{1}{2}AB=1\ dm \\  & SN=NC=\frac{1}{2}SC=1\ dm \\ \end{align}\)

Ta có CM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC là tam giác đều nên CM cũng là đường cao của tam giác ABC.

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác CMB vuông tại M:

\(\begin{align}  & M{{C}^{2}}+M{{B}^{2}}=B{{C}^{2}} \\  & \Leftrightarrow M{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-M{{B}^{2}}={{2}^{2}}-1=3 \\  & \Rightarrow MC=\sqrt{3}\ dm \\ \end{align}\)

Tương tự ta xét tam giác vuông SMB, ta tính được: \(SM=\sqrt{3}\ dm\)

Xét tam giác SMC có: \(M\text{S}=MC=\sqrt{3}\ dm\)

\(\Rightarrow \) Tam giác SMC là tam giác cân tại M.

\(\Rightarrow \) MN vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác SMC.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác MNC vuông tại N:

\(\begin{align}  & M{{N}^{2}}+N{{C}^{2}}=M{{C}^{2}} \\ & \Leftrightarrow M{{N}^{2}}=M{{C}^{2}}-N{{C}^{2}}=3-1=2 \\ & \Rightarrow MN=\sqrt{2}\ dm \\ \end{align}\)

Chọn A