Chứng minh với mọi m, n ta có: m^2+n^2+1/4>=2mn+m-n .

Giả sử $m^2+n^2+\frac{1}{4}\ge 2mn+m-n$

$\iff m^2+n^2+\frac{1}{4}-2mn-m+n\ge 0$

$\iff (m^2-2mn+n^2)-(m-n)+\frac{1}{4}\ge 0$

$\iff {(m-n)}^2-(m-n)+\frac{1}{4}\ge 0$

$\iff {(m-n-\frac{1}{2})}^2\ge 0$ đúng với mọi m, n.

Dấu bằng xảy ra khi  $m-n=\frac{1}{2}$.

Vậy giả sử đúng, từ đó ta có điều phải chứng minh.