Giải phương trình: 1/(x^2+9x+20)+1/(x^2+11x+30)+1/(x^2+13x+42)=1/18 .

Ta có:

x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5);

x² + 11x + 30 = (x + 6)(x + 5);

x² + 13x + 42 = (x + 6)(x + 7).

ĐKXĐ: x ≠ − 4; x ≠ − 5; x ≠ − 6; x ≠ − 7.

Phương trình đã cho trở thành:

$\frac{1}{(x+4)(x+5)}+\frac{1}{(x+5)(x+6)}+\frac{1}{(x+6)(x+7)}=\frac{1}{18}$ 

$\iff \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}$

$\iff \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}$

$\iff \frac{18(x+7)}{18(x+7)(x+4)}-\frac{18(x+4)}{18(x+7)(x+4)}=\frac{(x+7)(x+4)}{18(x+7)(x+4)}$

Þ 18(x + 7) − 18(x + 4) = (x + 7)(x + 4)

$\iff$18(x + 7 − x − 4) = x² + 11x + 28

$\iff$ x² + 11x + 28 = 54

$\iff$ x² + 11x − 26 = 0

$\iff$ x² − 2x + 13x − 26 = 0

$\iff$ x(x – 2) + 13(x – 2) = 0

$\iff$ (x + 13)(x − 2) = 0

$\iff$ x + 13 = 0 hoặc x − 2 = 0

$\iff$ x = −13 (TM) hoặc x = 2 (TM).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {−13; 2}.