Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Kẻ đường cao AH. a) Chứng minh: ABC đồng dạng với HBA. b) Chứng minh: AH2 = HB . HC. c) Tính độ dài các cạnh BC, AH. d) Phân...

a) Xét DABC và DHBA có:

$\widehat{BAC}=\widehat{AHB}={90}^o$ 

 chung

Do đó DABC  DHBA (g.g).

b) Chứng minh: AH² = HB . HC.

Xét DABH và DCAH có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^o$ (vì $AH\perp BC$).

$\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{CAH}$).

Do đó DABH DCAH (g.g).

c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào DABC vuông tại A, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm).

Từ câu a: DABC  DHBA nên: $\frac{AC}{HA}=\frac{BC}{BA}$.

Suy ra: $HB=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=\mathrm{3,6}$ (cm).

Vậy BC = 10 cm; AH = 4,8 cm.

d) Từ câu a: DABC  DHBA nên: $\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}$.

Suy ra: $\widehat{CAD}=\widehat{AHC}={90}^o$ (cm).

Do đó: HC = BC – HB = 10 – 3,6 = 6,4 (cm).

Xét DACD và DHCE có:

$\widehat{CAD}=\widehat{AHC}={90}^o$

${\widehat{C}}_1={\widehat{C}}_2$ (vì CD là tia phân giác của $\widehat{ACB}$)

Do đó DACD 

Suy ra $\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}}={\left(\frac{AC}{HC}\right)}^2={\left(\frac{8}{\mathrm{6,4}}\right)}^2=\frac{25}{16}$.