Cho ba số x, y, z dương và đôi một khác nhau thỏa mãn 1/x+1/y+1/z=0 Tính giá trị của biểu thức: A=xy/x^2+2yz+xz/y^2+2xz+xy/x^2+2xy .

Ta có:  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\iff \frac{xy+yz+xz}{xyz}=0$.

Mà ba số x, y, z dương nên: xyz > 0.

Nên: xy + yz + xz = 0

Û yz = – xy – xz.

Ta có: x² + 2yz = x² + yz – xy – xz

= x(x – y) – z(x – y) = (x – y)(x – z).

Tương tự: y² + 2xz = (y – x)(y – z);

z² + 2xy = (z – x)(z – y).

Do đó: $A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}$

$=\frac{yz}{(x-y)(x-z)}+\frac{xz}{(y-x)(y-z)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}$

$=\frac{-yz(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}-\frac{xz(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}-\frac{xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{-yz(y-z)-xz(z-x)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{-yz(y-z)+xz(y-z)+xz(x-y)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{(y-z)(xz-yz)+(x-y)(xz-xy)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{z(x-y)(y-z)-x(x-y)(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=1$.

Vậy $A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}=1$.