Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua A kẻ đường cao AH (H thuộc BC).

d) Ta có: AB ⊥ AC (vì ∆ABC vuông tại A) và HE ⊥ AC (giả thiết)

Suy ra AB // HE.

Do đó $\widehat{BAI}$ = $\widehat{IHE}$ (hai góc so le trong)

Xét ∆AIF và ∆EIH có:

$\widehat{BAI}$ = $\widehat{IHE}$ (chứng minh trên)

IA = IH (giả thiết)

$\widehat{FIA}$ = $\widehat{HIE}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆AIF = ∆EIH (g.c.g)

Suy ra AF = HE (hai cạnh tương ứng)

Mà AF // HE (vì HE // AB)

Do đó AEHF là hình bình hành.

Mặt khác, $\widehat{FAE}$ = 90°

Do đó AEHF là hình chữ nhật

Suy ra $\widehat{AFH}$= 90°.

Do đó $\widehat{AFH}$ = $\widehat{EHF}$ = 90°.

Mặt khác, ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AH và EF bằng nhau; AH cắt EF tại trung điểm I.

Suy ra IH = IF nên ∆HIF cân tại I.

Do đó $\widehat{IHF}=\widehat{IFH}$.

Xét ∆AFH và ∆EHF có:

$\widehat{IHF}=\widehat{IFH}$ (chứng minh trên)

$\widehat{AFH}$ = $\widehat{EHF}$= 90° (chứng minh trên)

Do đó ∆AFH $\backsim$ ∆EHF (g.g).

Suy ra $\frac{FA}{HF}=\frac{HF}{FB}$ (các cặp cạnh tương ứng)

Nên FA . FB = HF² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AF. FB + AE. EC = HF² + HE²

Xét ∆FHE vuông góc tại H có:

HF² + HE² = EF² = AH² (vì EF = AH)

Do đó AH² = FA. FB + EA. EC (đpcm).