Cho phương trình ẩn x (với m là tham số) m2x + 4m – 3 = m2 + x (1) a) Giải phương trình với m = 2.

Câu hỏi :

Cho phương trình ẩn x (với m là tham số)

m²x + 4m – 3 = m² + x (1)

a) Giải phương trình với m = 2.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

c) Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là số nguyên.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a) Thay m = 2 vào phương trình (1), ta được:

2²x + 4m – 3 = 2² + x

Û 4x + 8 – 3 = 4 + x

Û 4x + 5 = 4 + x

Û 4x – x = 4 – 5

Û 3x = – 1

Û x = – $\frac{1}{3}$ .

Vậy với m = 2 thì phương trình có một nghiệm là x = – $\frac{1}{3}$ .

b) Ta có: m²x + 4m – 3 = m² + x

<=> (m² – 1)x = m² – 4m + 3

<=> x = $\frac{m^2-4m+3}{m^2-1}$

Để phương trình (1) có một nghiệm duy nhất thì:

m² – 1 ≠ 0

Û (m + 1)(m – 1) ≠ 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}m+1\ne 0\\ m-1\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}m\ne -1\\ m\ne 1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Û m ≠ ±1.

Vậy để phương trình (1) có một nghiệm duy nhất thì m ≠ ±1.

c) Từ câu b ta có: x = $\frac{m^2-4m+3}{m^2-1}=\frac{\left(m-3\right)\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}$

$=\frac{m-3}{m+1}=\frac{m+1-4}{m+1}=1-\frac{4}{m+1}$

Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là số nguyên thì $\frac{4}{m+1}\in \mathbb{Z}$  và m ≠ ±1.

Khi đó, m ≠ ±1 và (m + 1) Î Ư(4) = {±1; ±2; ±4}.

Ta có bảng sau:

Vậy các giá trị của m thỏa mãn là {–5; –3; –2; 0; 3}.