Cho các số x, y, z dương thỏa mãn x^2+y^2+z^2=1.

Phương pháp:

$M=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:$\begin{array}{l}\frac{1}{16x^2}+\frac{49}{16}{x}^2\ge 2\sqrt{\frac{1}{16}.\frac{49}{16}}=\frac{14}{16}\\ \frac{1}{4y^2}+\frac{49}{16}{y}^2\ge 2\sqrt{\frac{1}{4}.\frac{49}{16}}=\frac{7}{4}\\ \frac{1}{z^2}+\frac{49}{16}{z}^2\ge 2\sqrt{1.\frac{49}{16}}=\frac{7}{2}\end{array}$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{array}{l}\frac{1}{16x^2}+\frac{49}{16}{x}^2+\frac{1}{4y^2}+\frac{49}{16}{y}^2+\frac{1}{z^2}+\frac{49}{16}{z}^2\ge \frac{14}{16}+\frac{7}{4}+\frac{7}{2}\\ \iff \left(\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\frac{49}{16}\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge \frac{49}{8}\\ \iff M+\frac{49}{16}\ge \frac{49}{8}\\ \iff M\ge \frac{49}{16}.\end{array}$

Dấu “=” xảy ra .$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=1\\ \frac{1}{4x}=\frac{7x}{4}\\ \frac{1}{2y}=\frac{7y}{4}\\ \frac{1}{z}=\frac{7z}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=1\\ 7x^2=1\\ 7y^2=2\\ 7z^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{7}}{7}\\ y=\frac{\sqrt{14}}{7}\\ z=\frac{2\sqrt{7}}{7}\end{array}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là $\frac{49}{16}$ khi $\left(x;y;z\right)=\left(\frac{\sqrt{7}}{7};\frac{\sqrt{14}}{7};\frac{2\sqrt{7}}{7}\right)$  .