Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì thì tứ giác MNEF là hình vuông.

Hình bình hành $ABCD$ có thêm điều kiện gì thì tứ giác $MENF$ là hình vuông. Khi đó tính diện tích của tứ giác $MENF$ biết $BC=3cm.$

Theo câu trên ta có $MENF$ là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật $MENF$ là hình vuông thì $EM=EN$

Vì $AEFD$ là hình thoi nên $M$ là trung điểm của $ED.$

Chứng minh tương tự ta cũng có $EBCF$ là hình thoi nên $N$ là trung điểm của $EC.$

Từ đó $EM=EN\iff ED=EC$ suy ra tam giác $EDC$ cân tại $E,$  lại có $EF$ là đường trung tuyến của $\Delta EDC$ nên $EF$ cũng là đường cao $\Rightarrow EF\perp DC.$

Vì $AEFD$ là hình thoi nên $EF//AD$

Suy ra $AD\perp DC$  

Từ đó hình bình hành $ABCD$ có $AD\perp DC$ nên nó là hình chữ nhật.

Vậy để $MENF$ là hình vuông thì $ABCD$ là hình chữ nhật.

+) Ta có: $BC=AD=EF=3cm$  (tính chất)

Đặt $ME=x\left(x>0\right)$

Xét hình vuông $MENF$ có $ME=MF=x$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông MEF ta có:$M{E}^2+M{F}^2=E{F}^2$

$\iff x^2+x^2=4^2$

$\iff 2x^2=16$

$\iff x^2=8$

Diện tích hình vuông $MENF$ là $S=M{E}^2=x^2=8\left(c{m}^2\right)$